Analysis Beispiele

$p = \frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ , $0 \leq x \leq 36$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{12} x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{12} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $\frac{2}{12}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 1.1.1.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x)}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{6} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{6} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{x}{6} - 6 + \frac{d}{d x} [108]$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $108$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 + 0$

Schritt 1.1.1.4.2

Addiere $\frac{x}{6} - 6$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{6} - 6$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x}{6} - 6$ .

$\frac{x}{6} - 6$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x}{6} - 6 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{6} = 6$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Schritt 1.2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 6 \cdot 6$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$x = 36$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 36$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $36$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Potenziere $36$ mit $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.2.1

Faktorisiere $12$ aus $1296$ heraus.

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Schritt 1.4.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Schritt 1.4.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $36$ .

$108 - 216 + 108$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Subtrahiere $216$ von $108$ .

$- 108 + 108$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $- 108$ und $108$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(36, 0)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 108$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 108$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 108$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$0 + 0 + 108$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 108$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $0$ und $108$ .

$108$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 36$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $36$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Potenziere $36$ mit $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Schritt 2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Faktorisiere $12$ aus $1296$ heraus.

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $36$ .

$108 - 216 + 108$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Subtrahiere $216$ von $108$ .

$- 108 + 108$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere $- 108$ und $108$ .

$0$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 108), (36, 0)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(0, 108)$

Absolutes Minimum: $(36, 0)$

Schritt 4