Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall x^3e^x
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
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Schritt 1.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.4
Vereinfache.
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Schritt 1.4.1
Stelle die Terme um.
Schritt 1.4.2
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
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Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Berechne .
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Schritt 2.2.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 2.2.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3
Berechne .
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Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.3.3
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 2.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.4
Vereinfache.
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Schritt 2.4.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.4.2
Vereine die Terme
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Schritt 2.4.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.2.2
Addiere und .
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Schritt 2.4.2.2.1
Bewege .
Schritt 2.4.2.2.2
Addiere und .
Schritt 2.4.3
Stelle die Terme um.
Schritt 2.4.4
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 4.1.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 4.1.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 4.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.4
Vereinfache.
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Schritt 4.1.4.1
Stelle die Terme um.
Schritt 4.1.4.2
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5.4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 5.4.1
Setze gleich .
Schritt 5.4.2
Löse nach auf.
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Schritt 5.4.2.1
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 5.4.2.2
Vereinfache .
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Schritt 5.4.2.2.1
Schreibe als um.
Schritt 5.4.2.2.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 5.4.2.2.3
Plus oder Minus ist .
Schritt 5.5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 5.5.1
Setze gleich .
Schritt 5.5.2
Löse nach auf.
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Schritt 5.5.2.1
Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.
Schritt 5.5.2.2
Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da nicht definiert ist.
Undefiniert
Schritt 5.5.2.3
Es gibt keine Lösung für
Keine Lösung
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 5.6
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 5.6.1
Setze gleich .
Schritt 5.6.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.7
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 9.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 9.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.2
Alles, was mit potenziert wird, ist .
Schritt 9.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.6
Alles, was mit potenziert wird, ist .
Schritt 9.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.9
Alles, was mit potenziert wird, ist .
Schritt 9.1.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Vereinfache durch Addieren von Zahlen.
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Schritt 9.2.1
Addiere und .
Schritt 9.2.2
Addiere und .
Schritt 10
Da es mindestens einen Punkt mit oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.
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Schritt 10.1
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu oder nicht definiert machen.
Schritt 10.2
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
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Schritt 10.2.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 10.2.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 10.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 10.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 10.2.2.1.2
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 10.2.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 10.2.2.1.4
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 10.2.2.1.5
Potenziere mit .
Schritt 10.2.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2.2.1.7
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 10.2.2.1.8
Kombiniere und .
Schritt 10.2.2.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 10.2.2.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 10.2.2.2.2
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 10.2.2.2.2.1
Addiere und .
Schritt 10.2.2.2.2.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 10.2.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 10.3
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
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Schritt 10.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 10.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 10.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 10.3.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 10.3.2.1.2
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 10.3.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 10.3.2.1.4
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 10.3.2.1.5
Potenziere mit .
Schritt 10.3.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.3.2.1.7
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 10.3.2.1.8
Kombiniere und .
Schritt 10.3.2.2
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.3.2.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 10.3.2.2.2
Addiere und .
Schritt 10.3.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 10.4
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
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Schritt 10.4.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 10.4.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.4.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 10.4.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 10.4.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.4.2.2
Addiere und .
Schritt 10.4.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 10.5
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist ein lokales Minimum.
ist ein lokales Minimum
Schritt 10.6
Da die erste Ableitung das Vorzeichen um nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.
Kein lokales Maximum oder Minimum
Schritt 10.7
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Minimum
Schritt 11