Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x)=x/(x^2+9) on -7 , 7
on ,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere.
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Schritt 1.1.1.2.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.1.2.6
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.1.1.2.6.1
Addiere und .
Schritt 1.1.1.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.4
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.5
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.1.6
Addiere und .
Schritt 1.1.1.7
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 1.2.3
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 1.2.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.3.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 1.2.3.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.2.3.3
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.2.3.4
Vereinfache .
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Schritt 1.2.3.4.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2.3.4.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.2.3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 1.2.3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 1.2.3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 1.2.3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.1.2.1
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 1.4.1.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.2
Addiere und .
Schritt 1.4.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 1.4.1.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 1.4.1.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
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Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.2.2.1
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 1.4.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.2
Addiere und .
Schritt 1.4.2.2.2
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 1.4.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 1.4.2.2.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.2.2.2.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.2.2.2.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.2.2.2.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.2.2.2.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.4.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
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Schritt 2.1
Berechne bei .
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Schritt 2.1.1
Ersetze durch .
Schritt 2.1.2
Vereinfache.
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Schritt 2.1.2.1
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 2.1.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.1.2.1.2
Addiere und .
Schritt 2.1.2.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.2
Berechne bei .
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Schritt 2.2.1
Ersetze durch .
Schritt 2.2.2
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 2.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.2
Addiere und .
Schritt 2.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 3
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 4