Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall (2x^(5/2))/5-(2x^(3/2))/3-6 , [0,4]
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.2.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.2.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.1.2.7
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.11
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.1.2.12
Dividiere durch .
Schritt 1.1.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.3.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.3.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.3.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.1.3.7
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.11
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.1.3.12
Dividiere durch .
Schritt 1.1.1.4
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.1.4.2
Addiere und .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Ermittle einen gemeinsamen Teiler , der in jedem Term vorkommt.
Schritt 1.2.3
Ersetze durch .
Schritt 1.2.4
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.1
Multipliziere mit .
Schritt 1.2.4.2
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.4.2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.4.2.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.4.2.2
Schreibe als um.
Schritt 1.2.4.2.3
Faktorisiere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.3.1
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 1.2.4.2.3.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 1.2.4.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.4.4
Setze gleich .
Schritt 1.2.4.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.5.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.4.5.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.4.6
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.6.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.4.6.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.4.7
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 1.2.5
Ersetze durch .
Schritt 1.2.6
Löse nach auf für .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.1
Potenziere jede Seite der Gleichung mit , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.2.6.2
Vereinfache den Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.6.2.1.1.2
Vereinfache.
Schritt 1.2.6.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.2.7
Löse nach auf für .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.1
Potenziere jede Seite der Gleichung mit , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.2.7.2
Vereinfache den Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.1.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.1.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.1.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.7.2.1.1.2
Vereinfache.
Schritt 1.2.7.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.2.8
Liste alle Lösungen auf.
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 1.3.1.2
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 1.3.1.3
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 1.3.2
Setze den Radikanden in kleiner als , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.3.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.1
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.3.3.2
Vereinfache die Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.1.1
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 1.3.3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.2.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.3.3.2.2.1.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 1.3.4
Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.1.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.4.1.2.1.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.1.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.1.1.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.1.2.1.1.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.3
Dividiere durch .
Schritt 1.4.1.2.1.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.4.1
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.1.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.4.1.2.1.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.4.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.1.4.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.1.2.1.4.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4.1.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.6
Dividiere durch .
Schritt 1.4.1.2.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.2.1
Addiere und .
Schritt 1.4.1.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 1.4.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 1.4.2.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.5
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 1.4.2.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.8
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 1.4.2.2.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.4.2.2.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.5
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.2.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.2.2.5.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.4.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Ersetze durch .
Schritt 2.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 2.1.2.1.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.1.2.1.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.1.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.1.2.1.1.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.1.2.1.1.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.1.3
Dividiere durch .
Schritt 2.1.2.1.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.4.1
Schreibe als um.
Schritt 2.1.2.1.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.1.2.1.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.4.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.1.2.1.4.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.1.2.1.4.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.1.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.1.6
Dividiere durch .
Schritt 2.1.2.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.2.1
Addiere und .
Schritt 2.1.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Ersetze durch .
Schritt 2.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 2.2.2.1.1.2
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.2.2.1.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.2.1.1.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.2.2.1.1.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.2.1.1.4
Addiere und .
Schritt 2.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.1.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.3.1
Schreibe als um.
Schritt 2.2.2.1.3.2
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.3.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.2.2.1.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.2.1.3.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.2.2.1.3.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.2.1.3.4
Addiere und .
Schritt 2.2.2.1.4
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.5
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 2.2.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.8
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 2.2.2.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.2.2.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.5
Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 2.2.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 3
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 4