Analysis Beispiele

$f (x) = - \sqrt{x + 1} + 2$ ; $3 \leq x \leq 10$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \sqrt{x + 1} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 1}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 1.1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.12

Addiere $1$ und $0$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.14

Mutltipliziere $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.2.15

Bringe ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x + 1)}^{1}}}$

Schritt 1.3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x + 1} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x + 1) = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot 1 = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x + 4 = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x + 4 = 0$

Schritt 1.3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 4$

Schritt 1.3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 4$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.3.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$x = - 1$

Schritt 1.3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 1}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 < 0$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - 1$

Schritt 1.3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

Schritt 1.4

Werte $- \sqrt{x + 1} + 2$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$- \sqrt{(- 1) + 1} + 2$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- \sqrt{0} + 2$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \sqrt{0^{2}} + 2$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 0 + 2$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 2$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(- 1, 2)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$- \sqrt{(3) + 1} + 2$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Addiere $3$ und $1$ .

$- \sqrt{4} + 2$

Schritt 3.1.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \sqrt{2^{2}} + 2$

Schritt 3.1.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 1 \cdot 2 + 2$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 + 2$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 10$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $10$ .

$- \sqrt{(10) + 1} + 2$

Schritt 3.2.2

Addiere $10$ und $1$ .

$- \sqrt{11} + 2$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(3, 0), (10, - \sqrt{11} + 2)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(3, 0)$

Absolutes Minimum: $(10, - \sqrt{11} + 2)$

Schritt 5