Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x)=x^3-3x^2+12 , (-2,4)
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1.1
Differenziere.
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Schritt 1.1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
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Schritt 1.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
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Schritt 1.1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.1.3.2
Addiere und .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 1.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.4
Setze gleich .
Schritt 1.2.5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.5.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.5.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.4.1.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4.1.2.1.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2
Vereinfache durch Addieren von Zahlen.
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Schritt 1.4.1.2.2.1
Addiere und .
Schritt 1.4.1.2.2.2
Addiere und .
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
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Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.4.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 1.4.2.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.2.2.2.2
Addiere und .
Schritt 1.4.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.
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Schritt 2.1
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu oder nicht definiert machen.
Schritt 2.2
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
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Schritt 2.2.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 2.2.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 2.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2
Addiere und .
Schritt 2.2.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 2.3
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
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Schritt 2.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 2.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 2.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.3.2.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 2.3.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 2.4
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
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Schritt 2.4.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 2.4.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 2.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.4.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.4.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.4.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 2.5
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist ein lokales Maximum.
ist ein lokales Maximum
Schritt 2.6
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist ein lokales Minimum.
ist ein lokales Minimum
Schritt 2.7
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 3
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 4