Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall y=sin(x)cos(x) , 0<=x<=pi
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.1.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.1.1.3
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.4
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.5
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.1.6
Addiere und .
Schritt 1.1.1.7
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.1.1.8
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.9
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.10
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.1.11
Addiere und .
Schritt 1.1.1.12
Vereinfache.
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Schritt 1.1.1.12.1
Stelle und um.
Schritt 1.1.1.12.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 1.1.1.12.3
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
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Schritt 1.1.1.12.3.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.1.12.3.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.1.12.3.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.1.12.4
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 1.1.1.12.4.1
Ordne die Faktoren in den Termen und neu an.
Schritt 1.1.1.12.4.2
Addiere und .
Schritt 1.1.1.12.4.3
Addiere und .
Schritt 1.1.1.12.5
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.1.1.12.5.1
Multipliziere .
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Schritt 1.1.1.12.5.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.12.5.1.2
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.12.5.1.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.1.12.5.1.4
Addiere und .
Schritt 1.1.1.12.5.2
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.1.1.12.5.3
Multipliziere .
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Schritt 1.1.1.12.5.3.1
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.12.5.3.2
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.12.5.3.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.1.12.5.3.4
Addiere und .
Schritt 1.1.1.12.6
Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 1.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.3.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.2.4
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.4.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.4.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.4.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.4.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.4.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.4.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 1.2.4.3.2
Multipliziere .
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Schritt 1.2.4.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.5
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 1.2.6
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.6.1
Vereinfache.
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Schritt 1.2.6.1.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.2.6.1.2
Kombiniere und .
Schritt 1.2.6.1.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.6.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.6.1.5
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.6.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.6.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.6.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.6.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.6.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.6.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.6.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.6.2.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 1.2.6.2.3.2
Multipliziere .
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Schritt 1.2.6.2.3.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.6.2.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 1.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 1.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 1.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 1.2.7.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.7.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.7.4.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.8
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 1.2.9
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.1.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.1.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.1.2.3
Multipliziere .
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Schritt 1.4.1.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3.2
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3.3
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.4.1.2.3.5
Addiere und .
Schritt 1.4.1.2.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4
Schreibe als um.
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Schritt 1.4.1.2.4.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.4.1.2.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.4.1.2.4.3
Kombiniere und .
Schritt 1.4.1.2.4.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.4.1.2.4.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.4.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.1.2.4.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 1.4.1.2.5
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 1.4.1.2.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.5.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.5.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.5.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 1.4.2.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.2.2.3
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 1.4.2.2.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.2.2.5
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.5.2
Potenziere mit .
Schritt 1.4.2.2.5.3
Potenziere mit .
Schritt 1.4.2.2.5.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.4.2.2.5.5
Addiere und .
Schritt 1.4.2.2.5.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.4.2.2.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.4.2.2.6.3
Kombiniere und .
Schritt 1.4.2.2.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.2.2.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.2.2.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 1.4.2.2.7
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.2.2.7.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.7.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.2.2.7.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.2.2.7.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.3
Liste all Punkte auf.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 2
Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.
Schritt 3
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Ersetze durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.1.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1
Ersetze durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 3.2.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.2.2.3
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 3.2.2.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.2.2.5
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 4
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 5