Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x) = square root of 4-x^2
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.4
Kombiniere und .
Schritt 1.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.7
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.7.2
Kombiniere und .
Schritt 1.7.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.8
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.10
Addiere und .
Schritt 1.11
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.12
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.13
Vereinfache Terme.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.13.2
Kombiniere und .
Schritt 1.13.3
Kombiniere und .
Schritt 1.13.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.14
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.14.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.14.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.14.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.15
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.2
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.3
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.4
Vereinfache.
Schritt 2.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.6
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.6.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.6.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.6.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.7
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.8
Kombiniere und .
Schritt 2.9
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.10
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.10.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.11
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.11.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.11.2
Kombiniere und .
Schritt 2.11.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 2.11.4
Kombiniere und .
Schritt 2.12
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.13
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.14
Addiere und .
Schritt 2.15
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.16
Multipliziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.16.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.16.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.17
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.18
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.18.1
Kombiniere und .
Schritt 2.18.2
Kombiniere und .
Schritt 2.19
Potenziere mit .
Schritt 2.20
Potenziere mit .
Schritt 2.21
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.22
Addiere und .
Schritt 2.23
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.24
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.25
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.26
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.27
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.27.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.27.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.27.3
Addiere und .
Schritt 2.27.4
Dividiere durch .
Schritt 2.28
Vereinfache .
Schritt 2.29
Addiere und .
Schritt 2.30
Addiere und .
Schritt 2.31
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 2.32
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.33
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.33.1
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.33.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.33.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.33.2
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.33.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.33.4
Addiere und .
Schritt 2.34
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.35
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.35.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.35.2
Addiere und .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.1.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 4.1.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.1.4
Kombiniere und .
Schritt 4.1.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.1.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.7
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.7.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.1.7.2
Kombiniere und .
Schritt 4.1.7.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 4.1.8
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.10
Addiere und .
Schritt 4.1.11
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.12
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.13
Vereinfache Terme.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.13.2
Kombiniere und .
Schritt 4.1.13.3
Kombiniere und .
Schritt 4.1.13.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.14
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.14.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.14.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.14.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.1.15
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 6.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 6.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 6.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 6.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 6.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 6.3.2.2.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.3.2.2.1.2
Vereinfache.
Schritt 6.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 6.3.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.3.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 6.3.3.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 6.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 6.3.3.3
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 6.3.3.4
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.4.1
Schreibe als um.
Schritt 6.3.3.4.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 6.3.3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 6.3.3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 6.3.3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 6.4
Setze den Radikanden in kleiner als , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 6.5
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Ungleichung.
Schritt 6.5.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.1
Teile jeden Term in durch . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.
Schritt 6.5.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 6.5.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 6.5.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 6.5.3
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 6.5.4
Vereinfache die Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.4.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.4.1.1
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 6.5.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.4.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.4.2.1.1
Schreibe als um.
Schritt 6.5.4.2.1.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 6.5.4.2.1.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 6.5.5
Schreibe als abschnittsweise Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.5.1
Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.
Schritt 6.5.5.2
Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem nicht negativ ist.
Schritt 6.5.5.3
Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.
Schritt 6.5.5.4
Entferne den Absolutwert und multipliziere mit in dem Teil, in dem negativ ist.
Schritt 6.5.5.5
Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.
Schritt 6.5.6
Bestimme die Schnittmenge von und .
Schritt 6.5.7
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.7.1
Teile jeden Term in durch . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.
Schritt 6.5.7.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.7.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 6.5.7.2.2
Dividiere durch .
Schritt 6.5.7.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.5.7.3.1
Dividiere durch .
Schritt 6.5.8
Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.
oder
oder
Schritt 6.6
Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.2
Addiere und .
Schritt 9.1.3
Schreibe als um.
Schritt 9.1.4
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 9.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.1.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.1.6
Potenziere mit .
Schritt 9.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 9.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 9.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 10
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.3
Addiere und .
Schritt 11.2.4
Schreibe als um.
Schritt 11.2.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 11.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.1
Potenziere mit .
Schritt 13.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 13.2.2
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.2.1
Schreibe als um.
Schritt 13.2.2.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 13.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.2.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 13.2.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 13.2.5
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 13.3
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Undefiniert
Schritt 14
Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.
Keine lokalen Extrema
Schritt 15