Analysis Beispiele

$h (x) = x^{3} e^{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ um.

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

$h'' (x) = x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} e^{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x))$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} + 6 (e^{x} (x))$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $e^{x} (3 x^{2})$ und $3 x^{2} e^{x}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

Schritt 2.4.2.2.2

Addiere $3 x^{2} e^{x}$ und $3 x^{2} e^{x}$ .

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$h'' (x) = e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$

Schritt 2.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$ um.

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

Schritt 4.1.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ um.

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $h (x)$ nach $x$ ist $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x^{2} e^{x}$ aus $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x^{2} e^{x}$ aus $x^{3} e^{x}$ heraus.

$x^{2} e^{x} (x) + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x^{2} e^{x}$ aus $3 x^{2} e^{x}$ heraus.

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3) = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x^{2} e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3)$ heraus.

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.5

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 5.5.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.5.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 3$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

${(0)}^{3} e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Schritt 9.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 \cdot 1 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Schritt 9.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 6 \cdot 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Schritt 9.1.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 6 (0) e^{0}$

Schritt 9.1.7

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 0 + 6 (0) e^{0}$

Schritt 9.1.8

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Schritt 9.1.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Schritt 9.1.10

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 6$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die erste Ableitung $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$h' (- 6) = {(- 6)}^{3} e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$h' (- 6) = - 216 e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Schritt 10.2.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h' (- 6) = - 216 \frac{1}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Schritt 10.2.2.1.3

Kombiniere $- 216$ und $\frac{1}{e^{6}}$ .

$h' (- 6) = \frac{- 216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Schritt 10.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Schritt 10.2.2.1.5

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 \cdot (36 e^{- 6})$

Schritt 10.2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 e^{- 6}$

Schritt 10.2.2.1.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 (\frac{1}{e^{6}})$

Schritt 10.2.2.1.8

Kombiniere $108$ und $\frac{1}{e^{6}}$ .

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + \frac{108}{e^{6}}$

Schritt 10.2.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.2.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$h' (- 6) = \frac{- 216 + 108}{e^{6}}$

Schritt 10.2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.2.2.2.1

Addiere $- 216$ und $108$ .

$h' (- 6) = \frac{- 108}{e^{6}}$

Schritt 10.2.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h' (- 6) = - \frac{108}{e^{6}}$

Schritt 10.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{108}{e^{6}}$ .

$- \frac{108}{e^{6}}$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- 3, 0)$ in die erste Ableitung $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$h' (- 2) = {(- 2)}^{3} e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$h' (- 2) = - 8 e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Schritt 10.3.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h' (- 2) = - 8 \frac{1}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Schritt 10.3.2.1.3

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$h' (- 2) = \frac{- 8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Schritt 10.3.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Schritt 10.3.2.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 \cdot (4 e^{- 2})$

Schritt 10.3.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 e^{- 2}$

Schritt 10.3.2.1.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 (\frac{1}{e^{2}})$

Schritt 10.3.2.1.8

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + \frac{12}{e^{2}}$

Schritt 10.3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$h' (- 2) = \frac{- 8 + 12}{e^{2}}$

Schritt 10.3.2.2.2

Addiere $- 8$ und $12$ .

$h' (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Schritt 10.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}}$

Schritt 10.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$h' (2) = {(2)}^{3} e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$h' (2) = 8 e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

Schritt 10.4.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$h' (2) = 8 e^{2} + 3 \cdot (4 e^{2})$

Schritt 10.4.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$h' (2) = 8 e^{2} + 12 e^{2}$

Schritt 10.4.2.2

Addiere $8 e^{2}$ und $12 e^{2}$ .

$h' (2) = 20 e^{2}$

Schritt 10.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $20 e^{2}$ .

$20 e^{2}$

Schritt 10.5

Da die erste Ableitung um $x = - 3$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 3$ ein lokales Minimum.

$x = - 3$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10.6

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 10.7

Dies sind die lokalen Extrema für $h (x) = x^{3} e^{x}$ .

$x = - 3$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11