Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + \frac{240}{x}$ ; $(0, \infty)$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{240}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $240$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{240}{x}$ nach $x$ gleich $240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 x + 240 (- x^{- 2})$

Schritt 1.1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $240$ .

$2 x - 240 x^{- 2}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 240 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Kombiniere $- 240$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 240}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Schritt 1.2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2 + 1} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{3} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{240}{x^{2}}$ in den Zähler.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{3} - 240 = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 240 = 0$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $240$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} = 240$

Schritt 1.2.4.2

Subtrahiere $240$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 240 = 0$

Schritt 1.2.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 240$ heraus.

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Schritt 1.2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{3}) - 240 = 0$

Schritt 1.2.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 240$ heraus.

$2 x^{3} + 2 \cdot - 120 = 0$

Schritt 1.2.4.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 \cdot - 120$ heraus.

$2 (x^{3} - 120) = 0$

Schritt 1.2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{3} - 120) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{3} - 120) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.4.4.2.1.2

Dividiere $x^{3} - 120$ durch $1$ .

$x^{3} - 120 = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{3} - 120 = 0$

Schritt 1.2.4.5

Addiere $120$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 120$

Schritt 1.2.4.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{120}$

Schritt 1.2.4.7

Vereinfache $\sqrt[3]{120}$ .

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Schritt 1.2.4.7.1

Schreibe $120$ als $2^{3} \cdot 15$ um.

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Schritt 1.2.4.7.1.1

Faktorisiere $8$ aus $120$ heraus.

$x = \sqrt[3]{8 (15)}$

Schritt 1.2.4.7.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 15}$

Schritt 1.2.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{240}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $x^{2} + \frac{240}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 2 \sqrt[3]{15}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $2 \sqrt[3]{15}$ .

${(2 \sqrt[3]{15})}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{15}$ an.

$2^{2} {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Schreibe ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ als $\sqrt[3]{15^{2}}$ um.

$4 \sqrt[3]{15^{2}} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Potenziere $15$ mit $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $240$ und $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $240$ heraus.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Schritt 1.4.1.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{15}$ heraus.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 (\sqrt[3]{15})}$

Schritt 1.4.1.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Schritt 1.4.1.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}}$

Schritt 1.4.1.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1.2.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{\sqrt[3]{15} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.7.2

Potenziere $\sqrt[3]{15}$ mit $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1 + 2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.1.7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ als $15$ um.

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Schritt 1.4.1.2.1.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{15}$ als $15^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{(15^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.1.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 1.4.1.2.1.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{1}}$

Schritt 1.4.1.2.1.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15}$

Schritt 1.4.1.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $120$ und $15$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.8.1

Faktorisiere $15$ aus $120 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ heraus.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.1.8.2.1

Faktorisiere $15$ aus $15$ heraus.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 (1)}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{8 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{1}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.2.4

Dividiere $8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ durch $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$

Schritt 1.4.1.2.1.9

Schreibe ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ als $\sqrt[3]{15^{2}}$ um.

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{15^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.10

Potenziere $15$ mit $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{225}$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $4 \sqrt[3]{225}$ und $8 \sqrt[3]{225}$ .

$12 \sqrt[3]{225}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} + \frac{240}{0}$

Schritt 1.4.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Schritt 2

Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.

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Schritt 2.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{15}) \cup (2 \sqrt[3]{15}, \infty)$

Schritt 2.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 2 \sqrt[3]{15})$ in die erste Ableitung $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{4}$

Schritt 2.2.2.1.3

Dividiere $240$ durch $4$ .

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 60$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $60$ .

$f' (- 2) = - 4 - 60$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $60$ von $- 4$ .

$f' (- 2) = - 64$

Schritt 2.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 64$ .

$- 64$

Schritt 2.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $7$ , aus dem Intervall $(2 \sqrt[3]{15}, \infty)$ in die erste Ableitung $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = 2 (7) - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{49}$

Schritt 2.3.2.2

Um $14$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = 14 \cdot \frac{49}{49} - \frac{240}{49}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $14$ und $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49}{49} - \frac{240}{49}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49 - 240}{49}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $14$ mit $49$ .

$f' (7) = \frac{686 - 240}{49}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $240$ von $686$ .

$f' (7) = \frac{446}{49}$

Schritt 2.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{446}{49}$ .

$\frac{446}{49}$

Schritt 2.4

Da die erste Ableitung um $x = 2 \sqrt[3]{15}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 2 \sqrt[3]{15}$ ein lokales Minimum.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Kein absolutes Maximum

Absolutes Minimum: $(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Schritt 4