Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall g(x) = square root of 4-x^2 , -2<=x<=1
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.1.1.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.1.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.1.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.6
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.1.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.1.7
Kombiniere Brüche.
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Schritt 1.1.1.7.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.1.7.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.7.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.1.8
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.1.10
Addiere und .
Schritt 1.1.1.11
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.12
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.13
Vereinfache Terme.
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Schritt 1.1.1.13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.13.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.13.3
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.13.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.14
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 1.1.1.14.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.14.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.1.14.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.1.15
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
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Schritt 1.3.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 1.3.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 1.3.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.3.3
Löse nach auf.
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Schritt 1.3.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
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Schritt 1.3.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.3.2.2.1
Vereinfache .
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Schritt 1.3.3.2.2.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 1.3.3.2.2.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.3.3.2.2.1.2
Vereinfache.
Schritt 1.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.3.3.3
Löse nach auf.
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Schritt 1.3.3.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.3.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.3.3.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.3.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.3.3.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 1.3.3.3.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.3.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3.3.3.3
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.3.3.3.4
Vereinfache .
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Schritt 1.3.3.3.4.1
Schreibe als um.
Schritt 1.3.3.3.4.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.3.3.3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 1.3.3.3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 1.3.3.3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 1.3.3.3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 1.3.4
Setze den Radikanden in kleiner als , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.3.5
Löse nach auf.
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Schritt 1.3.5.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Ungleichung.
Schritt 1.3.5.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.3.5.2.1
Teile jeden Term in durch . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.
Schritt 1.3.5.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.5.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 1.3.5.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.5.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.5.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3.5.3
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.3.5.4
Vereinfache die Gleichung.
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Schritt 1.3.5.4.1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.5.4.1.1
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 1.3.5.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.5.4.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.4.2.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.3.5.4.2.1.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 1.3.5.4.2.1.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 1.3.5.5
Schreibe als abschnittsweise Funktion.
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Schritt 1.3.5.5.1
Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.
Schritt 1.3.5.5.2
Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem nicht negativ ist.
Schritt 1.3.5.5.3
Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.
Schritt 1.3.5.5.4
Entferne den Absolutwert und multipliziere mit in dem Teil, in dem negativ ist.
Schritt 1.3.5.5.5
Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.
Schritt 1.3.5.6
Bestimme die Schnittmenge von und .
Schritt 1.3.5.7
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.3.5.7.1
Teile jeden Term in durch . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.
Schritt 1.3.5.7.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.7.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 1.3.5.7.2.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.5.7.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.5.7.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3.5.8
Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.
oder
oder
Schritt 1.3.6
Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3
Addiere und .
Schritt 1.4.1.2.4
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.2.2.4
Schreibe als um.
Schritt 1.4.2.2.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.4.3
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.3.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.3.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.3.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.4.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.3.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.3.2.4
Schreibe als um.
Schritt 1.4.3.2.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.4.4
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.
Schritt 3
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Ersetze durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 3.1.2.4
Schreibe als um.
Schritt 3.1.2.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 3.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1
Ersetze durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 3.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 3.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 4
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 5