Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall g(x)=1/20x^2-25 Quadratwurzel von x on 0 , 49
on ,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.2.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.2.5
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.2.5.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.2.5.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.1.2.5.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.3.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.1.1.3.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3.4
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.5
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.3.6
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.3.7
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.3.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.7.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.1.3.8
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.1.3.9
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.3.10
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.3.11
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.1.3.12
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.
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Schritt 1.2.2.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
Schritt 1.2.2.2
Da sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil und anschließend für den variablen Teil .
Schritt 1.2.2.3
Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.
1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.
2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.
Schritt 1.2.2.4
hat Faktoren von und .
Schritt 1.2.2.5
Da keine Teiler außer und hat.
ist eine Primzahl
Schritt 1.2.2.6
Die Zahl ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.
Nicht prim
Schritt 1.2.2.7
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.
Schritt 1.2.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.2.9
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.
Schritt 1.2.2.10
Das kgV von ist der numerische Teil multipliziert mit dem variablen Teil.
Schritt 1.2.3
Multipliziere jeden Term in mit um die Brüche zu eliminieren.
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Schritt 1.2.3.1
Multipliziere jeden Term in mit .
Schritt 1.2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.2.3.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.3.2.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3.2.1.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 1.2.3.2.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1.3.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.2.3.2.1.3.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.2.3.2.1.3.2
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.3.2.1.3.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.3.2.1.3.4
Addiere und .
Schritt 1.2.3.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1.4.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 1.2.3.2.1.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.1.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.4.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.3.1
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.3.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4
Löse die Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.4.2
Potenziere jede Seite der Gleichung mit , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.2.4.3
Vereinfache den Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.3.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.3.1.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.3.1.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.3.1.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.4.3.1.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.3.1.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.4.3.1.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.4.3.1.1.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.3.1.1.1.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.4.3.1.1.1.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.4.3.1.1.2
Vereinfache.
Schritt 1.2.4.3.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.3.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.3.2.1.1
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.3.2.1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2.4.3.2.1.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.4.3.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.3.2.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.4.3.2.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.4.3.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 1.3.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 1.3.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.3.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 1.3.3.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 1.3.3.2.2.1.3
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.2.1.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.3.3.2.2.1.4
Vereinfache.
Schritt 1.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.3.3.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.3.3.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.3.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.3.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3.4
Setze den Radikanden in kleiner als , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.3.5
Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.1.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.1.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.1.2.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.1.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 1.4.1.2.1.4
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.1.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.4.1.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3
Kombiniere und .
Schritt 1.4.1.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.4.1.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.1.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.3
Schreibe als um.
Schritt 1.4.2.2.1.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.4.2.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2
Addiere und .
Schritt 1.4.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Ersetze durch .
Schritt 2.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.1.3
Schreibe als um.
Schritt 2.1.2.1.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.1.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.2
Addiere und .
Schritt 2.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Ersetze durch .
Schritt 2.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.1.2
Kombiniere und .
Schritt 2.2.2.1.3
Schreibe als um.
Schritt 2.2.2.1.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.2.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.2.2.3
Kombiniere und .
Schritt 2.2.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.2.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.2.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 3
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 4