Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x)=cos(x)
Schritt 1
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
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Schritt 2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 4.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 4.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 4.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 4.2.2
Dividiere durch .
Schritt 4.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.3.1
Dividiere durch .
Schritt 5
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 6
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 6.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 7
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 8
Subtrahiere von .
Schritt 9
Die Lösung der Gleichung .
Schritt 10
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 11
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 11.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 11.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 12
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 13
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 13.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 13.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 13.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 13.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 15
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 15.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 15.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 15.3
Multipliziere .
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Schritt 15.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 16
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 17
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 17.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 17.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 17.2.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 17.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 17.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 18
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 19