Analysis Beispiele

$m (x) = \ln (x)$ , given $\frac{1}{10} \leq x \leq \frac{1}{5}$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $m (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $\ln (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\ln (0)$

Schritt 1.4.1.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{10}$ .

$\ln (\frac{1}{10})$

Schritt 2.2

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{5}$ .

$\ln (\frac{1}{5})$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{1}{10}, \ln (\frac{1}{10})), (\frac{1}{5}, \ln (\frac{1}{5}))$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $m (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $m (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $m (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(\frac{1}{5}, \ln (\frac{1}{5}))$

Absolutes Minimum: $(\frac{1}{10}, \ln (\frac{1}{10}))$

Schritt 4