Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 4 x$ , $[2, 6)$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - 4$ .

$2 x - 4$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - 4 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - 4 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 4$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$x = 2$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{2} - 4 x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${(2)}^{2} - 4 \cdot 2$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 - 4 \cdot 2$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$4 - 8$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$- 4$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(2, - 4)$

Schritt 2

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Kein absolutes Maximum

Absolutes Minimum: $(2, - 4)$

Schritt 4