Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall c(x) = square root of x , given 1/121<=x<=17
, given
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.1.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.6
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.1.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.1.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.1.8
Vereinfache.
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Schritt 1.1.1.8.1
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.1.8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 1.2.3
Da , gibt es keine Lösungen.
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
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Schritt 1.3.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 1.3.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 1.3.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.3.3
Löse nach auf.
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Schritt 1.3.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
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Schritt 1.3.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.3.2.2.1
Vereinfache .
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Schritt 1.3.3.2.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 1.3.3.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 1.3.3.2.2.1.3
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.3.3.2.2.1.4
Vereinfache.
Schritt 1.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.3.3.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.3.3.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.3.3.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.3.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.3.3.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.3.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.3.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.3.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3.4
Setze den Radikanden in kleiner als , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.3.5
Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.1.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.4.1.2.2
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.3
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.4.2
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.
Schritt 3
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
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Schritt 3.1
Berechne bei .
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Schritt 3.1.1
Ersetze durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache.
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Schritt 3.1.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 3.1.2.2
Schreibe als um.
Schritt 3.1.2.3
Jede Wurzel von ist .
Schritt 3.1.2.4
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 3.1.2.4.1
Schreibe als um.
Schritt 3.1.2.4.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 3.2
Berechne bei .
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Schritt 3.2.1
Ersetze durch .
Schritt 3.2.2
Entferne die Klammern.
Schritt 3.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 4
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 5