Analysis Beispiele

$y = \frac{x + 3}{x - 5}$ , $(4, - 7)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = - 7$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 5 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 - x - 1 \cdot 3$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 5 - 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Subtrahiere $3$ von $- 5$ .

$\frac{- 8}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$- \frac{8}{{((4) - 5)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$- \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{8}{1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.2.1

Dividiere $8$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 8$ und einen gegebenen Punkt $(4, - 7)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 7) = - 8 \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 8 \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 7 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 7 = - 8 x - 8 \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$y + 7 = - 8 x + 32$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 8 x + 32 - 7$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $7$ von $32$ .

$y = - 8 x + 25$

Schritt 3