Analysis Beispiele

$y = - \frac{1}{x}$ ; $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = - \frac{1}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3

Multipliziere.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$x^{- 2}$

Schritt 2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{1}{{(2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(2, - \frac{1}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 - 1}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$y = \frac{x}{4} - 1$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{4} x - 1$

Schritt 4