Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3}$ , $x = 3$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze $3$ für $x$ ein.

$y = {(3)}^{3}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3^{3}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(3)}^{3}$

Schritt 1.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = 27$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 27$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$3 {(3)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{1 + 2}$

Schritt 2.3.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3^{3}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Benutze die Steigung $27$ und einen gegebenen Punkt $(3, 27)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (27) = 27 \cdot (x - (3))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 27 = 27 \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $27 \cdot (x - 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 27 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 27 = 27 \cdot (x - 3)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 27 = 27 x + 27 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $27$ mit $- 3$ .

$y - 27 = 27 x - 81$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 27 x - 81 + 27$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 81$ und $27$ .

$y = 27 x - 54$

Schritt 4