Analysis Beispiele

x=1/2⋅ln(3)에서의 접선 구하기 y=e^(2x) at x=1/2 natürlicher Logarithmus von 3
at
Schritt 1
Bestimme den entsprechenden -Wert zu .
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Schritt 1.1
Setze für ein.
Schritt 1.2
Vereinfache .
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Schritt 1.2.1
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 1.2.2
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 1.2.3
Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.
Schritt 1.2.4
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 1.2.4.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.4.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 2
Finde die erste Ableitung und werte sie bei und aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.
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Schritt 2.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 2.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.1.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 2.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.2
Differenziere.
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Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 2.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.3.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.3
Bestimme die Ableitung bei .
Schritt 2.4
Vereinfache.
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Schritt 2.4.1
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 2.4.2
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 2.4.3
Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.
Schritt 2.4.4
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 2.4.4.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.4.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.4.4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.4.4.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.4.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 2.4.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3
Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für lösen.
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Schritt 3.1
Benutze die Steigung und einen gegebenen Punkt , um und in der Punkt-Steigungs-Form zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung abgeleitet ist.
Schritt 3.2
Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.
Schritt 3.3
Löse nach auf.
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Schritt 3.3.1
Vereinfache .
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Schritt 3.3.1.1
Forme um.
Schritt 3.3.1.2
Vereinfache durch Addieren von Nullen.
Schritt 3.3.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.3.1.4
Multipliziere .
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Schritt 3.3.1.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.1.4.2
Vereinfache , indem du in den Logarithmus ziehst.
Schritt 3.3.1.5
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 3.3.1.5.1
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 3.3.1.5.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.3.1.5.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.3.1.5.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.1.5.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.1.5.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.1.5.2
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4