Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ at $(3, \frac{1}{27})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = \frac{1}{27}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Schritt 1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$- \frac{3}{{(3)}^{4}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und ${(3)}^{4}$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{3 (1)}{{(3)}^{4}}$

Schritt 1.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus ${(3)}^{4}$ heraus.

$- \frac{3 (1)}{3 \cdot 3^{3}}$

Schritt 1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3^{3}}$

Schritt 1.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3^{3}}$

Schritt 1.5.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{1}{27}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{27}$ und einen gegebenen Punkt $(3, \frac{1}{27})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{1}{27} \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{1}{27} x - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} - \frac{1}{27} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{27}$ in den Zähler.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{27} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 (9)} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{3 \cdot 9} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- 1}{9} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{- 1}{9}$ und $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{- - 1}{9}$

Schritt 2.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{1}{27}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.3.2.2

Um $\frac{1}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3}{27} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{27} + \frac{3 + 1}{27}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $3$ und $1$ .

$y = - \frac{x}{27} + \frac{4}{27}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{27} x) + \frac{4}{27}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{27} x + \frac{4}{27}$

Schritt 3