Analysis Beispiele

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = \frac{1}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $1 + 11 x^{2}$ mit $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 11 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x^{2}$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 11$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.8

Subtrahiere $22 x^{2}$ von $11 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.9

Kombiniere $6$ und $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.10.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.10.2.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $6$ .

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.11

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.12.1.2

Mutltipliziere $- 66$ mit $1$ .

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.12.1.3

Addiere $- 66$ und $6$ .

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.12.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.12.2.2

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

Schritt 1.12.2.3

Addiere $11$ und $1$ .

$\frac{- 60}{12^{2}}$

Schritt 1.12.2.4

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{- 60}{144}$

Schritt 1.12.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.12.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 60$ und $144$ .

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Schritt 1.12.3.1.1

Faktorisiere $12$ aus $- 60$ heraus.

$\frac{12 (- 5)}{144}$

Schritt 1.12.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.12.3.1.2.1

Faktorisiere $12$ aus $144$ heraus.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Schritt 1.12.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Schritt 1.12.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5}{12}$

Schritt 1.12.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{12}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{5}{12}$ und einen gegebenen Punkt $(1, \frac{1}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{12}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{5}{12} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{5}{12}$ mit $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

Schritt 2.3.1.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $5$ und $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

Schritt 3