Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{4})$ ; $x = e^{2}$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = e^{2}$ .

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Schritt 1.1

Setze $e^{2}$ für $x$ ein.

$y = \ln ({(e^{2})}^{4})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \ln ({(e^{2})}^{4})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\ln ({(e^{2})}^{4})$ .

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2})}^{4}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \ln (e^{2 \cdot 4})$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \ln (e^{8})$

Schritt 1.2.2.2

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $8$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$y = 8 \ln (e)$

Schritt 1.2.2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y = 8 \cdot 1$

Schritt 1.2.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$y = 8$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = e^{2}$ und $y = 8$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

Schritt 2.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $\frac{4}{x^{4}}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

Schritt 2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.2.3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

Schritt 2.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Schritt 2.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Schritt 2.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{x}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = e^{2}$ .

$\frac{4}{e^{2}}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{4}{e^{2}}$ und einen gegebenen Punkt $(e^{2}, 8)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (8) = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - (e^{2}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} x + \frac{4}{e^{2}} (- e^{2})$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{4}{e^{2}}$ und $x$ .

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (- e^{2})$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Faktorisiere $e^{2}$ aus $- e^{2}$ heraus.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (e^{2} \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (e^{2} \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + 4 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} - 4$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{4 x}{e^{2}} - 4 + 8$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 4$ und $8$ .

$y = \frac{4 x}{e^{2}} + 4$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{4}{e^{2}} x + 4$

Schritt 4