Analysis Beispiele

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ ; $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $(2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 2 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = 2 {(4 - 8 + 5)}^{8}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$y = 2 {(- 4 + 5)}^{8}$

Schritt 1.2.3.2.2

Addiere $- 4$ und $5$ .

$y = 2 \cdot 1^{8}$

Schritt 1.2.3.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 2 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = 2$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{8}$ und $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.7

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \cdot 1$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ mit $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Schritt 2.4

Faktorisiere ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ aus $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ heraus.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ aus $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4))$ heraus.

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ aus ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ heraus.

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ aus ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$ heraus.

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

${({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

${(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

${(4 - 8 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.2.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

${(- 4 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Schritt 2.6.2.2

Addiere $- 4$ und $5$ .

$1^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Schritt 2.6.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Schritt 2.6.2.4

Mutltipliziere $(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ mit $1$ .

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Schritt 2.6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 (8 (4 - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Schritt 2.6.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$2 (8 \cdot 0) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Schritt 2.6.3.3

Multipliziere $2 (8 \cdot 0)$ .

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Schritt 2.6.3.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$2 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Schritt 2.6.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Schritt 2.6.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5$

Schritt 2.6.3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$0 + 4 - 8 + 5$

Schritt 2.6.4

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.6.4.1

Addiere $0$ und $4$ .

$4 - 8 + 5$

Schritt 2.6.4.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$- 4 + 5$

Schritt 2.6.4.3

Addiere $- 4$ und $5$ .

$1$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(2, 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = 1 \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$y - 2 = x - 2$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - 2 + 2$

Schritt 3.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$y = x + 0$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y = x$

Schritt 4