Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{4})$ , $(- 1, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{4})]$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $\ln (x^{4})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{4})}{2}]$

Schritt 1.1.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x \ln (x^{4})}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{4}}$ und $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.4.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.4.2

Kombiniere $\frac{4}{x^{3}}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 1.4.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.4.3.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

Schritt 1.4.6

Mutltipliziere $\ln (x^{4})$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Schritt 1.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Schritt 1.5.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Schritt 1.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \ln (x^{4}) + 2$

Schritt 1.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (x^{4})$ .

$\frac{\ln (x^{4})}{2} + 2$

Schritt 1.5.4.2

Zerlege $\ln (x^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$\frac{4 \ln (x)}{2} + 2$

Schritt 1.5.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.5.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \ln (x)$ heraus.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2} + 2$

Schritt 1.5.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 (1)} + 2$

Schritt 1.5.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 \cdot 1} + 2$

Schritt 1.5.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \ln (x)}{1} + 2$

Schritt 1.5.4.3.2.4

Dividiere $2 \ln (x)$ durch $1$ .

$2 \ln (x) + 2$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$2 \ln (- 1) + 2$

Schritt 1.7

Der natürliche Logarithmus einer negativen Zahl ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 2

Die Steigung der Geraden ist nicht definiert, was bedeutet, dass sie durch $x = - 1$ senkrecht zur x-Achse verläuft.

$x = - 1$

Schritt 3