Analysis Beispiele

$f (x) = 8 - \ln (x)$ ; $x = 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = 8 - \ln (1)$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 8 - \ln (1)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $8 - \ln (1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$y = 8 - 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 8 + 0$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $8$ und $0$ .

$y = 8$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 8$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$0 - \frac{1}{x}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von $0$ .

$- \frac{1}{x}$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1}$

Schritt 2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(1, 8)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (8) = - 1 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 8 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 8 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 8 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 8 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.4.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y - 8 = - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 8 = - x + 1$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + 1 + 8$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $1$ und $8$ .

$y = - x + 9$

Schritt 4