Analysis Beispiele

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ at $(3, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 1.2.6.2

Stelle die Faktoren von $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere.

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Schritt 1.3.1.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 (x^{2} - y^{2})$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Schritt 1.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 1.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Schritt 1.3.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 1.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$25 (2 x - 2 y y')$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

Schritt 1.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$50 x + 25 (- 2 y y')$

Schritt 1.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$50 x - 50 y y'$

Schritt 1.3.5.3

Stelle die Terme um.

$- 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

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Schritt 1.5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.3

Multipliziere $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.4.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.7.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 1.5.1.4.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.1.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

Schritt 1.5.2

Addiere $50 y y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

Schritt 1.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.3.1

Subtrahiere $8 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

Schritt 1.5.3.2

Subtrahiere $8 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y y' x^{2}$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y^{3} y'$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $50 y y'$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.5

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ durch $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ durch $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ .

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Schritt 1.5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $2$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $50 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ heraus.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- 4 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Schritt 1.5.5.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Schritt 1.5.5.3.2

Um $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 1.5.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

Schritt 1.5.5.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ um.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.6

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.3.6.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.7

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.5.5.3.7.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.7.2

Faktorisiere $x$ aus $25 x$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.7.3

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.7.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.7.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.9

Schreibe $25$ als $- 1 (- 25)$ um.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.5.3.13.1

Schreibe $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ als $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ um.

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.5.5.3.13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 3$ und $y = 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 {(3)}^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$- \frac{(3) (4 {(3)}^{2} - 25 + 4 {(1)}^{2})}{(1) (4 {(3)}^{2} + 4 {(1)}^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{3 (4 \cdot 9 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1^{2})}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{3 (36 - 25 + 4 \cdot 1)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{3 (36 - 25 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3.5

Subtrahiere $25$ von $36$ .

$- \frac{3 (11 + 4)}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.3.6

Addiere $11$ und $4$ .

$- \frac{3 \cdot 15}{1 (4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25)}$

Schritt 1.7.4

Multipliziere.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25$ mit $1$ .

$- \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Schritt 1.7.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$- \frac{45}{4 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{45}{4 \cdot 9 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Schritt 1.7.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1^{2} + 25}$

Schritt 1.7.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{45}{36 + 4 \cdot 1 + 25}$

Schritt 1.7.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{45}{36 + 4 + 25}$

Schritt 1.7.5.5

Addiere $36$ und $4$ .

$- \frac{45}{40 + 25}$

Schritt 1.7.5.6

Addiere $40$ und $25$ .

$- \frac{45}{65}$

Schritt 1.7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $45$ und $65$ .

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Schritt 1.7.6.1

Faktorisiere $5$ aus $45$ heraus.

$- \frac{5 (9)}{65}$

Schritt 1.7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $65$ heraus.

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

Schritt 1.7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 13}$

Schritt 1.7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9}{13}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{9}{13}$ und einen gegebenen Punkt $(3, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{9}{13} \cdot (x - (3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{9}{13} x - \frac{9}{13} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{9}{13}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} - \frac{9}{13} \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{9}{13} \cdot - 3$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + 3 (\frac{9}{13})$

Schritt 2.3.1.5.2

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{13}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{3 \cdot 9}{13}$

Schritt 2.3.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{27}{13}$

Schritt 2.3.1.6

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + \frac{13}{13}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27 + 13}{13}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $27$ und $13$ .

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{40}{13}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{9}{13} x) + \frac{40}{13}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{9}{13} x + \frac{40}{13}$

Schritt 3