Analysis Beispiele

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 x y^{2}$ ; $(2, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 x y^{2})$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 1.2.6.2

Stelle die Faktoren von $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 x y^{2}$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$25 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$25 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$25 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$25 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$25 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$25 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$25 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$25 (2 x y y' + y^{2})$

Schritt 1.3.8

Vereinfache.

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Schritt 1.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 (2 x y y') + 25 y^{2}$

Schritt 1.3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$50 x y y' + 25 y^{2}$

Schritt 1.3.8.3

Stelle die Terme um.

$25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

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Schritt 1.5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.3

Multipliziere $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.4.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.7.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 1.5.1.4.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.1.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = 25 y^{2} + 50 x y y'$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $50 x y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2}$

Schritt 1.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.3.1

Subtrahiere $8 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3}$

Schritt 1.5.3.2

Subtrahiere $8 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' - 50 x y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y y' x^{2}$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $8 y^{3} y'$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) - 50 x y y' = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 50 x y y'$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.4.5

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (- 25 x)$ heraus.

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Schritt 1.5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ durch $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) = 25 y^{2} - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ durch $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x} = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x$ .

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Schritt 1.5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{25 y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $25 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (25 y)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ heraus.

$y' = \frac{y (25 y)}{y (2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (25 y)}{y (2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ heraus.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 1.5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ heraus.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x))}$

Schritt 1.5.5.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.3.1.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- 4 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.5.3.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$

Schritt 1.5.5.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$

Schritt 1.5.5.3.2

Um $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.5.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y \cdot 2}{(4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2}$

Schritt 1.5.5.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ um.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} - \frac{4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{25 y - 4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.5.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $25 y - 4 x y \cdot 2$ heraus.

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Schritt 1.5.5.3.5.1.1

Faktorisiere $y$ aus $25 y$ heraus.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y \cdot 25 - 4 x y \cdot 2}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.5.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 4 x y \cdot 2$ heraus.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y \cdot 25 + y (- 4 x \cdot 2)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.5.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 25 + y (- 4 x \cdot 2)$ heraus.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 4 x \cdot 2)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.6

Um $- \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.7

Um $\frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 1.5.5.3.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.5.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2} + \frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 1.5.5.3.8.2

Mutltipliziere $\frac{y (25 - 8 x)}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y}$

Schritt 1.5.5.3.8.3

Stelle die Faktoren von $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) \cdot 2$ um.

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y}$

Schritt 1.5.5.3.8.4

Stelle die Faktoren von $2 (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x) y$ um.

$y' = - \frac{4 x^{3} \cdot 2}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)} + \frac{y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 4 x^{3} \cdot 2 + y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.5.3.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y (25 - 8 x) y}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.3.10.2.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y \cdot y (25 - 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y^{2} (25 - 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{- 8 x^{3} + y^{2} \cdot 25 + y^{2} (- 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10.4

Bringe $25$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$y' = \frac{- 8 x^{3} + 25 \cdot y^{2} + y^{2} (- 8 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.10.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{- 8 x^{3} + 25 y^{2} - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.5.5.3.11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{- (8 x^{3}) + 25 y^{2} - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.2

Faktorisiere $- 1$ aus $25 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (8 x^{3}) - (- 25 y^{2}) - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 x^{3}) - (- 25 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - (8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 x^{3} - 25 y^{2}) - (8 y^{2} x)$ heraus.

$y' = \frac{- (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.5.3.11.6.1

Schreibe $- (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)$ als $- 1 (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)$ um.

$y' = \frac{- 1 (8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.5.5.3.11.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} - 25 x)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$- \frac{8 {(2)}^{3} - 25 y^{2} + 8 y^{2} (2)}{2 y (4 {(2)}^{2} + 4 y^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$- \frac{8 {(2)}^{3} - 25 {(1)}^{2} + 8 {(1)}^{2} (2)}{2 (1) (4 {(2)}^{2} + 4 {(1)}^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8 - 25 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$- \frac{64 - 25 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{64 - 25 \cdot 1 + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3.4

Mutltipliziere $- 25$ mit $1$ .

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 1^{2} \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 1 \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3.6

Multipliziere $8 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 1.7.3.6.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$- \frac{64 - 25 + 8 \cdot 2}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3.6.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$- \frac{64 - 25 + 16}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3.7

Subtrahiere $25$ von $64$ .

$- \frac{39 + 16}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.3.8

Addiere $39$ und $16$ .

$- \frac{55}{2 (1) (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{55}{2 (4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{55}{2 (4 \cdot 4 + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{55}{2 (16 + 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{55}{2 (16 + 4 \cdot 1 - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{55}{2 (16 + 4 - 25 \cdot 2)}$

Schritt 1.7.5.5

Mutltipliziere $- 25$ mit $2$ .

$- \frac{55}{2 (16 + 4 - 50)}$

Schritt 1.7.5.6

Addiere $16$ und $4$ .

$- \frac{55}{2 (20 - 50)}$

Schritt 1.7.5.7

Subtrahiere $50$ von $20$ .

$- \frac{55}{2 \cdot - 30}$

Schritt 1.7.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 30$ .

$- \frac{55}{- 60}$

Schritt 1.7.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $55$ und $- 60$ .

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Schritt 1.7.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $55$ heraus.

$- \frac{5 (11)}{- 60}$

Schritt 1.7.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.6.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 60$ heraus.

$- \frac{5 \cdot 11}{5 \cdot - 12}$

Schritt 1.7.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 \cdot 11}{5 \cdot - 12}$

Schritt 1.7.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{11}{- 12}$

Schritt 1.7.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{11}{12}$

Schritt 1.7.7

Multipliziere $- - \frac{11}{12}$ .

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Schritt 1.7.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{11}{12})$

Schritt 1.7.7.2

Mutltipliziere $\frac{11}{12}$ mit $1$ .

$\frac{11}{12}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{11}{12}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = \frac{11}{12} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{11}{12} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = \frac{11}{12} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = \frac{11}{12} x + \frac{11}{12} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{11}{12}$ und $x$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{12} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 (6)} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11}{6} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{11}{6}$ und $- 1$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{11 \cdot - 1}{6}$

Schritt 2.3.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.7.1

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$y - 1 = \frac{11 x}{12} + \frac{- 11}{6}$

Schritt 2.3.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 1 = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{11}{6} + \frac{6}{6}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{11 x}{12} + \frac{- 11 + 6}{6}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $- 11$ und $6$ .

$y = \frac{11 x}{12} + \frac{- 5}{6}$

Schritt 2.3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{11 x}{12} - \frac{5}{6}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{11}{12} x - \frac{5}{6}$

Schritt 3