Analysis Beispiele

x=e⁵에서의 접선 구하기 f(x) = natural log of x^4 ; x=e^5
;
Schritt 1
Bestimme den entsprechenden -Wert zu .
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Schritt 1.1
Setze für ein.
Schritt 1.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.2.2
Vereinfache .
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Schritt 1.2.2.1
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 1.2.2.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.2.2
Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um aus dem Exponenten zu ziehen.
Schritt 1.2.2.3
Der natürliche Logarithmus von ist .
Schritt 1.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2
Finde die erste Ableitung und werte sie bei und aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.
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Schritt 2.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 2.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 2.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.
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Schritt 2.2.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.2
Vereinfache Terme.
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Schritt 2.2.2.1
Kombiniere und .
Schritt 2.2.2.2
Kombiniere und .
Schritt 2.2.2.3
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 2.2.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2.3.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 2.2.2.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.2.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.3
Bestimme die Ableitung bei .
Schritt 3
Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für lösen.
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Schritt 3.1
Benutze die Steigung und einen gegebenen Punkt , um und in der Punkt-Steigungs-Form zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung abgeleitet ist.
Schritt 3.2
Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.
Schritt 3.3
Löse nach auf.
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Schritt 3.3.1
Vereinfache .
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Schritt 3.3.1.1
Forme um.
Schritt 3.3.1.2
Vereinfache durch Addieren von Nullen.
Schritt 3.3.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.3.1.4
Kombiniere und .
Schritt 3.3.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.3.1.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.1.5.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.1.5.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 3.3.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.3.2.2
Addiere und .
Schritt 3.3.3
Stelle die Terme um.
Schritt 4