Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - 1$ ; $x = 0$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 0$ .

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Schritt 1.1

Setze $0$ für $x$ ein.

$y = 2 {(0)}^{2} - 1$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{2} - 1$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(0)}^{2} - 1$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $2 {(0)}^{2} - 1$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 1$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 - 1$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = - 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$4 x$

Schritt 2.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$4 (0)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $0$ und einen gegebenen Punkt $(0, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = 0 \cdot (x - (0))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = 0 \cdot (x + 0)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $0 \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y + 1 = 0 \cdot x$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 4