Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = \frac{1}{3}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $e^{x}$ von $3 e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x + 2 e^{x}$ heraus.

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.4.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $2 e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.4.4.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ heraus.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Schritt 1.6.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.2.1

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{2}{3^{2}}$

Schritt 1.6.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2}{9}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{2}{9}$ und einen gegebenen Punkt $(0, \frac{1}{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere $\frac{2}{9}$ und $x$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

Schritt 3