Analysis Beispiele

$y = e^{2 x}$ at $x = \frac{1}{2} \ln (2)$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ für $x$ ein.

$y = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2))}$

Schritt 1.2

Vereinfache $e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2))}$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (2)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = e^{2 \ln (2^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $2 \ln (2^{\frac{1}{2}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y = e^{\ln ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 1.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$y = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2^{1}$

Schritt 1.2.5

Berechne den Exponenten.

$y = 2$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{1}{2} \ln (2)$ und $y = 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{1}{2} \cdot \ln (2)$ .

$2 e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2))}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (2)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$2 e^{2 \ln (2^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $2 \ln (2^{\frac{1}{2}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$2 e^{\ln ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 2.4.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2^{1}$

Schritt 2.4.5

Berechne den Exponenten.

$2 \cdot 2$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $4$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{1}{2} \cdot \ln (2), 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (2) = 4 \cdot (x - (\frac{1}{2} \cdot \ln (2)))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 2 = 4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 2 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 2 = 4 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 2 = 4 x + 4 (- \ln (2^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $4 (- \ln (2^{\frac{1}{2}}))$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y - 2 = 4 x - 4 \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.3.1.4.2

Vereinfache $- 4 \ln (2^{\frac{1}{2}})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$y - 2 = 4 x - \ln ({(2^{\frac{1}{2}})}^{4})$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

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Schritt 3.3.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{\frac{1}{2} \cdot 4})$

Schritt 3.3.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})$

Schritt 3.3.1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})$

Schritt 3.3.1.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 2 = 4 x - \ln (2^{2})$

Schritt 3.3.1.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y - 2 = 4 x - \ln (4)$

Schritt 3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4 x - \ln (4) + 2$

Schritt 4