Analysis Beispiele

$x y = 15$ , $x = 5$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 5$ .

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Schritt 1.1

Setze $5$ für $x$ ein.

$(5) \cdot y = 15$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $y$ .

$5 \cdot y = 15$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 \cdot y = 15$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cdot y = 15$ durch $5$ .

$\frac{5 \cdot y}{5} = \frac{15}{5}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot y}{5} = \frac{15}{5}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{15}{5}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $15$ durch $5$ .

$y = 3$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 5$ und $y = 3$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (15)$

Schritt 2.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y$

Schritt 2.3

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + y = 0$

Schritt 2.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' = - y$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - y$ durch $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{x}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 2.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Schritt 2.7

Berechne bei $x = 5$ und $y = 3$ .

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Schritt 2.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$- \frac{y}{5}$

Schritt 2.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $3$ .

$- \frac{3}{5}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{3}{5}$ und einen gegebenen Punkt $(5, 3)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (3) = - \frac{3}{5} \cdot (x - (5))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 3 = - \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 3 = - \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 5$

Schritt 3.3.1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{5}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 5$

Schritt 3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{5}$ in den Zähler.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot - 5$

Schritt 3.3.1.2.3.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (- 1))$

Schritt 3.3.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} - 3 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + 3$

Schritt 3.3.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 3 = - \frac{3 x}{5} + 3$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{3 x}{5} + 3 + 3$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $3$ und $3$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + 6$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{3}{5} x) + 6$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{5} x + 6$

Schritt 4