Analysis Beispiele

$x^{2} y^{2} = 3 y + 1$ at $(2, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (3 y + 1)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Schritt 1.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 1.3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y' + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 y' + 0$

Schritt 1.3.3.2

Addiere $3 y'$ und $0$ .

$3 y'$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 3 y'$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $3 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y' = 0$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $2 x^{2} y y' - 3 y'$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 x^{2} y y'$ heraus.

$y' (2 x^{2} y) - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y'$ heraus.

$y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3 = - 2 y^{2} x$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3$ heraus.

$y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ durch $2 x^{2} y - 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ durch $2 x^{2} y - 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{2} y - 3$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Schritt 1.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = 1$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$- \frac{2 y^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} y - 3}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $1$ .

$- \frac{2 {(1)}^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} (1) - 3}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2 \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 1.7.4.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Schritt 1.7.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1 + 2} \cdot 1 - 3}$

Schritt 1.7.4.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} \cdot 1 - 3}$

Schritt 1.7.4.2

Vereinfache $2^{3} \cdot 1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} - 3}$

Schritt 1.7.4.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{8 - 3}$

Schritt 1.7.4.4

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{5}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{4 \cdot 1}{5}$

Schritt 1.7.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{4}{5}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{4}{5}$ und einen gegebenen Punkt $(2, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

Schritt 2.3.1.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

Schritt 2.3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

Schritt 2.3.1.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $8$ und $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

Schritt 3