Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} - x + 1$ at $(2, \frac{5}{3})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = \frac{5}{3}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{3} x^{2} - x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3} x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x}{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 x}{3} - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 1 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $\frac{4 x}{3} - 1$ und $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 1$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{4 (2)}{3} - 1$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8}{3} - 1$

Schritt 1.6.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.6.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 1.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 1.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{8 - 3}{3}$

Schritt 1.6.5.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\frac{5}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{5}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(2, \frac{5}{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{5}{3}) = \frac{5}{3} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{5}{3} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{5}{3} = 0 + 0 + \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x$ .

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $- 2$ .

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 2}{3}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{- 10}{3}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{5}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 x - 10 + 5}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Addiere $- 10$ und $5$ .

$y = \frac{5 x - 5}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 5$ heraus.

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Schritt 2.3.2.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$y = \frac{5 (x) - 5}{3}$

Schritt 2.3.2.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = \frac{5 (x) + 5 (- 1)}{3}$

Schritt 2.3.2.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{5 (x - 1)}{3}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5 x + 5 \cdot - 1}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y = \frac{5 x - 5}{3}$

Schritt 2.3.3.3

Zerlege den Bruch $\frac{5 x - 5}{3}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.3.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 2.3.3.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{5}{3} x - \frac{5}{3}$

Schritt 3