Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} (x - 8)$ , $(16, 32)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 16$ und $y = 32$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 8)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11

Vereinfache.

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Schritt 1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.11.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.11.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.11.2.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.4

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.5

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.11.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.11.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.8

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.9

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.2.12

Addiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.12

Bestimme die Ableitung bei $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.13.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.13.1.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.13.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.1.1.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.1.3

Dividiere $12$ durch $2$ .

$6 - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.13.1.4.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$6 - \frac{4}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.13.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.13.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 1.13.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$6 - \frac{4}{4^{1}}$

Schritt 1.13.1.4.4

Berechne den Exponenten.

$6 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.13.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.13.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.13.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$6 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.13.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 - 1$

Schritt 1.13.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$5$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $5$ und einen gegebenen Punkt $(16, 32)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (32) = 5 \cdot (x - (16))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $5 \cdot (x - 16)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 32 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 16)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 32 = 5 x + 5 \cdot - 16$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 16$ .

$y - 32 = 5 x - 80$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $32$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5 x - 80 + 32$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 80$ und $32$ .

$y = 5 x - 48$

Schritt 3