Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ at the point $(4, \frac{35}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = \frac{35}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ und $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 4$

Schritt 1.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Schritt 1.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2} + 4$

Schritt 1.5.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$- \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Schritt 1.7.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.7.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Schritt 1.7.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Schritt 1.7.1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{3}} + 4$

Schritt 1.7.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2^{1 + 3}} + 4$

Schritt 1.7.1.1.4

Addiere $1$ und $3$ .

$- \frac{1}{2^{4}} + 4$

Schritt 1.7.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{1}{16} + 4$

Schritt 1.7.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + 4 \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 1.7.3

Kombiniere $4$ und $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Schritt 1.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 4 \cdot 16}{16}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\frac{- 1 + 64}{16}$

Schritt 1.7.5.2

Addiere $- 1$ und $64$ .

$\frac{63}{16}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{63}{16}$ und einen gegebenen Punkt $(4, \frac{35}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{35}{2}) = \frac{63}{16} \cdot (x - (4))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{63}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{35}{2} = 0 + 0 + \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} x + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{63}{16}$ und $x$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 (4)} \cdot - 4$

Schritt 2.3.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.6

Kombiniere $\frac{63}{4}$ und $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63 \cdot - 1}{4}$

Schritt 2.3.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.7.1

Mutltipliziere $63$ mit $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63}{4}$

Schritt 2.3.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{35}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Um $\frac{35}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{35}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{4}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 35 \cdot 2}{4}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $35$ mit $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 70}{4}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 63$ und $70$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{7}{4}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{63}{16} x + \frac{7}{4}$

Schritt 3