Analysis Beispiele

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{π}{4}$ für $x$ ein.

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$y = \sin (2 \frac{π}{4})$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Schritt 1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{4}$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Schritt 2.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 2.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 2.14

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{4}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$- 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.15.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.15.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{2^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 \frac{2}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 (\frac{2}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.15.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{2}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.15.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 2.15.1.8

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 1 + 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 2.15.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$- 1 + 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.10

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.15.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 1 + 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.15.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + 2 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$- 1 + 2 \frac{2}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 1 + 2 (\frac{2}{4})$

Schritt 2.15.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.15.1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 1 + 2 \frac{2}{2 (2)}$

Schritt 2.15.1.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + 2 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.15.1.12.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + \frac{2}{2}$

Schritt 2.15.1.13

Dividiere $2$ durch $2$ .

$- 1 + 1$

Schritt 2.15.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $0$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{4}, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x - \frac{π}{4}$ .

$y - 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1$

Schritt 4