Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 3}$ , $x = - 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = - 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $- 2$ für $x$ ein.

$y = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\sqrt{{(- 2)}^{2} + 3}$ .

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Schritt 1.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \sqrt{4 + 3}$

Schritt 1.2.2

Addiere $4$ und $3$ .

$y = \sqrt{7}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 2$ und $y = \sqrt{7}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 3}$ als ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 2.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 2.11.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.11.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.12

Bestimme die Ableitung bei $x = - 2$ .

$\frac{- 2}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.13.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 2}{{(4 + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.1.2

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{- 2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ und einen gegebenen Punkt $(- 2, \sqrt{7})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\sqrt{7}) = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (- 2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \sqrt{7} = 0 + 0 - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $- \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.1.5.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.1.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{x \cdot 2}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - \sqrt{7} = - \frac{2 \cdot x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \sqrt{7} = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.2

Addiere $\sqrt{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{7}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Um $\sqrt{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{7} \cdot \frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.2

Kombiniere $\sqrt{7}$ und $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} - \frac{4}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + \sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.4.1

Multipliziere $\sqrt{7} \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.3.3.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{1 + 1}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{2}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.4.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{\frac{2}{2}}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7^{1}}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.2

Berechne den Exponenten.

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 + 7}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.3

Addiere $- 4$ und $7$ .

$y = - \frac{2 x}{7^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.5

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x) + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.6

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{2}{7^{\frac{1}{2}}} x + \frac{3}{7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4