Analysis Beispiele

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{π}{3}$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{π}{3}$ für $x$ ein.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$y = \sin (2 \frac{π}{3})$

Schritt 1.2.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$y = \sin (\frac{2 π}{3})$

Schritt 1.2.2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$y = \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2.2.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{3}$ und $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Schritt 2.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 2.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 2.14

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{3}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.15.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.15.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.15.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.6

Schreibe $- 1 (\frac{3}{2})$ als $- (\frac{3}{2})$ um.

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.15.1.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 2.15.1.8

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 2.15.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

Schritt 2.15.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.15.1.11.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

Schritt 2.15.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.15.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.15.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.15.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 + 1}{2}$

Schritt 2.15.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.15.2.2.1

Addiere $- 3$ und $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Schritt 2.15.2.2.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$- 1$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 x - 1 (- \frac{π}{3})$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x - 1 (- \frac{π}{3})$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $- 1 (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + 1 \frac{π}{3}$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + \frac{π}{3}$

Schritt 3.3.2

Addiere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Um $\frac{\sqrt{3}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Schritt 3.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - x + \frac{π \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Schritt 3.3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$y = - x + \frac{2 \cdot π + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Schritt 3.3.3.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y = - x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 4