Analysis Beispiele

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{2}$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.1

Setze $\frac{π}{2}$ für $x$ ein.

$y = 8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$ .

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Schritt 1.2.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$y = 8 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$y = 8 \cdot 0$

Schritt 1.2.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{2}$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Schritt 2.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 2.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Schritt 2.14

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{2}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 8 \cdot 1^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 2.15.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 8 \cdot 1 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 2.15.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 8 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 2.15.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 8 + 8 \cdot 0^{2}$

Schritt 2.15.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 8 + 8 \cdot 0$

Schritt 2.15.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$- 8 + 0$

Schritt 2.15.2

Addiere $- 8$ und $0$ .

$- 8$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 8$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{2}, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = - 8 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = - 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = - 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $- 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 8 x - 8 (- \frac{π}{2})$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$y = - 8 x - 8 \frac{- π}{2}$

Schritt 3.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$y = - 8 x + 2 (- 4) \frac{- π}{2}$

Schritt 3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 8 x + 2 \cdot - 4 \frac{- π}{2}$

Schritt 3.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 8 x - 4 (- π)$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = - 8 x + 4 π$

Schritt 4