Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{4} x^{2}$ ;, $(- 2, - 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 2$ und $y = - 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{4} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{4} (2 x)$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{4}) x$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 2}{4} x$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $\frac{- 2}{4}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{4}$

Schritt 1.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{4}$

Schritt 1.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 (2)}$

Schritt 1.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{2}$

Schritt 1.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{2}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 2$ .

$- \frac{- 2}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$- - 1$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(- 2, - 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (- 2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 1 = 1 \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$y + 1 = x + 2$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x + 2 - 1$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y = x + 1$

Schritt 3