Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{x}}{x}$ , $(1, e)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = e$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - e^{x}$ heraus.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$\frac{e^{1} ((1) - 1)}{{(1)}^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{e^{1} \cdot 0}{1^{2}}$

Schritt 1.6.1.2

Vereinfache.

$\frac{e \cdot 0}{1^{2}}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{e \cdot 0}{1}$

Schritt 1.6.2.2

Mutltipliziere $e$ mit $0$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 1.6.2.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $0$ und einen gegebenen Punkt $(1, e)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (e) = 0 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - e = 0 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x - 1$ .

$y - e = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $e$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = e$

Schritt 3