Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{4 x + 7}$ , $x = 4$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 4$ .

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Schritt 1.1

Setze $4$ für $x$ ein.

$y = \sqrt{4 (4) + 7}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\sqrt{4 (4) + 7}$ .

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \sqrt{16 + 7}$

Schritt 1.2.2

Addiere $16$ und $7$ .

$y = \sqrt{23}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = \sqrt{23}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x + 7}$ als ${(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 x + 7$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 7$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 2.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 2.12

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

Schritt 2.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.13.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

Schritt 2.13.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$\frac{2}{{(4 (4) + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.16

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.16.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{2}{{(16 + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.16.2

Addiere $16$ und $7$ .

$\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ und einen gegebenen Punkt $(4, \sqrt{23})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\sqrt{23}) = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (4))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \sqrt{23} = 0 + 0 + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ und $- 4$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 4}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.2

Addiere $\sqrt{23}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Um $\sqrt{23}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23} \cdot \frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.2

Kombiniere $\sqrt{23}$ und $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + \sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.4.1

Multipliziere $\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.3.3.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{23}$ als $23^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2}} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1 + 1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.4.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{1}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.2

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.4.3

Addiere $- 8$ und $23$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3.3.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4