Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ at $x = - 1$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze $- 1$ für $x$ ein.

$y = \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$y = \frac{- 1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Schritt 1.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{- 1}$

Schritt 1.2.1.4

Dividiere $7$ durch $- 1$ .

$y = - \frac{1}{7} - - 7$

Schritt 1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7$

Schritt 1.2.2

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7 \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $7$ und $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + \frac{7 \cdot 7}{7}$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 + 7 \cdot 7}{7}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$y = \frac{- 1 + 49}{7}$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $- 1$ und $49$ .

$y = \frac{48}{7}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = \frac{48}{7}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{7}}{7}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{7}$ .

$\frac{7}{7} x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{7}{7}$ und $x^{6}$ .

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Schritt 2.2.5.2

Dividiere $x^{6}$ durch $1$ .

$x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{7}{x^{7}}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{7}}$ als ${(x^{7})}^{- 1}$ um.

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{7})}^{- 1}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{7}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x^{6} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} (7 x^{6}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 7 (- x^{7 \cdot - 2} (7 x^{6}))$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$x^{6} - 7 (- x^{- 14} (7 x^{6}))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 14} x^{6})$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $x^{- 14}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Bewege $x^{6}$ .

$x^{6} - 7 (- 7 (x^{6} x^{- 14}))$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{6} - 7 (- 7 x^{6 - 14})$

Schritt 2.3.7.3

Subtrahiere $14$ von $6$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 8})$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$x^{6} + 49 x^{- 8}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{6} + 49 \frac{1}{x^{8}}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $49$ und $\frac{1}{x^{8}}$ .

$x^{6} + \frac{49}{x^{8}}$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

${(- 1)}^{6} + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$1 + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Schritt 2.6.1.2

Potenziere $- 1$ mit $8$ .

$1 + \frac{49}{1}$

Schritt 2.6.1.3

Dividiere $49$ durch $1$ .

$1 + 49$

Schritt 2.6.2

Addiere $1$ und $49$ .

$50$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Benutze die Steigung $50$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, \frac{48}{7})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{48}{7}) = 50 \cdot (x - (- 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $50 \cdot (x + 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{48}{7} = 0 + 0 + 50 \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $50$ mit $1$ .

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Addiere $\frac{48}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 50 x + 50 + \frac{48}{7}$

Schritt 3.3.2.2

Um $50$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + 50 \cdot \frac{7}{7} + \frac{48}{7}$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $50$ und $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7}{7} + \frac{48}{7}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7 + 48}{7}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $50$ mit $7$ .

$y = 50 x + \frac{350 + 48}{7}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $350$ und $48$ .

$y = 50 x + \frac{398}{7}$

Schritt 4