Analysis Beispiele

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(- \frac{π}{4}, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - \frac{π}{4}$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 1.3

Stelle die Faktoren von $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ um.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (- \frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.3

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.5.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.6.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2^{1} \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$2 \cdot 2 \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \tan (- \frac{π}{4})$

Schritt 1.5.9

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$4 \tan (\frac{7 π}{4})$

Schritt 1.5.10

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im vierten Quadranten negativ ist.

$4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.5.11

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.5.12

Multipliziere $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 1.5.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \cdot - 1$

Schritt 1.5.12.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 4$ und einen gegebenen Punkt $(- \frac{π}{4}, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - 4 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - 4 x - 4 \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y - 1 = - 4 x + 4 (- 1) \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 1 = - 4 x + 4 \cdot - 1 \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = - 4 x - 1 π$

Schritt 2.3.1.5

Schreibe $- 1 π$ als $- π$ um.

$y - 1 = - 4 x - π$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 4 x - π + 1$

Schritt 3