Analysis Beispiele

$\int \frac{x}{x - 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{u + 1}{u} d u$

Schritt 2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{u}{u} + \frac{1}{u} d u$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int d u + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$u + C + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$u + C + \ln (| u |) + C$

Schritt 7

Vereinfache.

$u + \ln (| u |) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$x - 1 + \ln (| x - 1 |) + C$