Analysis Beispiele

Berechne das Integral 4 Integral über 1/(1-x^2) nach x
Schritt 1
Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.
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Schritt 1.1
Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.
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Schritt 1.1.1
Faktorisiere den Bruch.
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Schritt 1.1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.1.1.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 1.1.2
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 1.1.3
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 1.1.4
Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich .
Schritt 1.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.6.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.7
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.1.7.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.7.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.7.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.7.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.7.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.7.4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.1.7.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.1.7.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.7.5.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.7.6
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.7.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.8
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.1.8.1
Bewege .
Schritt 1.1.8.2
Stelle und um.
Schritt 1.1.8.3
Bewege .
Schritt 1.1.8.4
Bewege .
Schritt 1.2
Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.
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Schritt 1.2.1
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 1.2.2
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 1.2.3
Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.
Schritt 1.3
Löse das Gleichungssystem.
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Schritt 1.3.1
Löse in nach auf.
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Schritt 1.3.1.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 1.3.1.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.2
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 1.3.2.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 1.3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.2.2.1
Vereinfache .
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Schritt 1.3.2.2.1.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.3.2.2.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.3.2.2.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.2.2.1.1.3
Multipliziere .
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Schritt 1.3.2.2.1.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.2.2.1.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.2.2.1.2
Addiere und .
Schritt 1.3.3
Löse in nach auf.
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Schritt 1.3.3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 1.3.3.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.3.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.3.3.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.3.3.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.3.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.3.3.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.3.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.4
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 1.3.4.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 1.3.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.4.2.1
Vereinfache .
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Schritt 1.3.4.2.1.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.3.4.2.1.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.3.4.2.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.5
Liste alle Lösungen auf.
Schritt 1.4
Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in durch die Werte, die für und ermittelt wurden.
Schritt 1.5
Vereinfache.
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Schritt 1.5.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.3
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 1.5.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Sei . Dann ist . Forme um unter Vewendung von und .
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Schritt 4.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 4.1.1
Differenziere .
Schritt 4.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.5
Addiere und .
Schritt 4.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 5
Das Integral von nach ist .
Schritt 6
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 7
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 7.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 7.1.1
Forme um.
Schritt 7.1.2
Dividiere durch .
Schritt 7.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 8
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 9
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 10
Das Integral von nach ist .
Schritt 11
Vereinfache.
Schritt 12
Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.
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Schritt 12.1
Ersetze alle durch .
Schritt 12.2
Ersetze alle durch .
Schritt 13
Vereinfache.
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Schritt 13.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 13.2
Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, .
Schritt 13.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 13.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 13.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.3.3
Forme den Ausdruck um.