Analysis Beispiele

$\int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Sei $x = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3

Vereinfache $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Schritt 3.1

Ordne Terme um.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 4

Multipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ .

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Schritt 4.1.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Schritt 4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 5

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (t)$ und $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 7

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Schritt 8

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 10.2

Stelle $\tan^{2} (t)$ und $\sec (t)$ um.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 11

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 12

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 12.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 12.3

Stelle $\sec (t)$ und $- 1$ um.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 13

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Schritt 14

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Schritt 15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Schritt 16

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 17

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Schritt 19

Addiere $2$ und $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Schritt 20

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 21

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 22

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 23

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 23.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 24

Wenn nach $\int \sec^{3} (t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Schritt 25

Mutltipliziere $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ mit $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Schritt 26

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 27

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$