Analysis Beispiele

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 9.2

Kombiniere ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Bringe ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- (2 x)) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 15

Vereinfache Terme.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 15.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 15.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 16

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 16.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 18

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 19

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 19.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Schritt 19.2

Addiere $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ und $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$